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Le damos la bienvenida al blog de ecuaciones de primer grado de Adela Arias y Celeste Breccia.

lunes, 21 de marzo de 2011

Enseñando a comprender ecuaciones de 1ºgrado


Secuencia didáctica

  •               Exploración inicial


1.                 Proyección del video “Belleza y las matemáticas”.
Consignas:
 A partir de  lo observado respondan:
a.      ¿Qué idea de la matemática les sugiere el video?
b.      ¿Qué escala le darías del 1 al 10  a la aplicación de la matemática en la naturaleza?
c.      ¿En qué partes del video aparece el tema propuesto?
d.      Propongan situaciones que, a su entender, utilicen ecuaciones.



  •      Introducción del concepto, procedimiento y análisis.













Introducción

  • Si estás ubicado dos pisos  del subsuelo de un edificio y quieres llegar al piso 6 ¿Cuántos pisos debes recorrer por el ascensor?.

 planteamos la ecuación, llamando  (x) al recorrido por el ascensor 
 - 2 + x = 6 ahora resolvemos la ecuación.
 -2+2+x=6+2 entonces resulta
 x=8


 ¿Qué ocurre si tienes estas situaciones?


     sube en el piso       viaja por el ascensor        baja en el piso
        -3                             7 pisos hacia arriba             .................
     .............                      8 pisos hacia abajo                  -2
        9                               ..................                              -1 


    Proceso:
    Reunidos en grupos de trabajo de 4 integrantes, ingresarán a las páginas web:
    http://www.educaplus.org/play-14-Ecuaciones-visuales-II.html
    En esta página encontrarán dos aplicaciones interactivas en las que realizarán diversas actividades
    . En ellas verán que, jugando podrán encontrar datos desconocidos que te llevarán a relacionarlo con el tema propuesto.

    Ahora lean atentamente el documento1. 

    Documento 1:
    Identidades y ecuaciones
    Actividad
    1.                 Aquí tienen algunas expresiones con letras, números y signos de operaciones. ¿Qué diferencias observan entre ellas?
    a.)    2x-1+2(3x+2)                          b)   2( x+3)-1=2x+5
    d)    2(x + 5) = x - 1                         e)   2x2 - 3 = 5
    Habrán visto que en la primera de ellas no aparece el signo igual. Es una expresión algebraica sencilla (una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números y letras, ligados entre sí con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación).
    En todas las demás hay dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual. A la expresión que está a la izquierda se le llama primer miembro y a la que está a la derecha, segundo miembro. Cada sumando es un término, la letra x se llama incógnita y los números que la acompañan, coeficientes.
    En las expresiones b) y d) sustituyan la letra x por 2.
    - ¿Qué ocurre?
    - Repite el proceso para x = - 2, x = -11  y   x = 3.
    - Haz lo mismo en las expresiones d) y e).
    - ¿Encuentras alguna diferencia?
    Dos expresiones algebraicas relacionadas por el signo igual, tales que al sustituir la indeterminada por cualquier valor numérico resulta una igualdad verdadera, se llama identidad. Si esto es cierto tan solo para algunos valores de la indeterminada, se llama ecuación y a estos valores se les llama soluciones de la ecuación.
    Las soluciones o raíces de la ecuación son los valores numéricos que verifican una ecuación, es decir, los que al ser sustituidos en las letras convierten a la ecuación en una igualdad. Este último proceso se conoce con el nombre de comprobación.
    Las letras que aparecen en una ecuación reciben el nombre de incógnitas y deben ser calculadas como los valores que cumplen la ecuación.
    Actividad
    2.    De las siguientes expresiones indiquen  las que son identidades y las que son ecuaciones.

    a.   2x+7x+3=9x+3
    b.   (x - 3)2 + 6(x + 1) = -2x + 7
    c.   (x + 3)(x - 3) = x2 - 9
    d.   2x - 2 = 3(x + 1)



    Para seguir profundizando en el tema, les proponemos que visiten: http://www.amolasmates.es/flash/ecuaciones

    Ahora comenzarán a resolver ecuaciones de manera formal en un lenguaje específico y con procedimientos adecuados. En primera instancia, entrarán a la siguiente página en la cual deberán plantear y resolver  por lo menos tres ecuaciones diferentes y copiarlas en sus carpetas.
     http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recursos_2005/interactivos/balanza/balanza1.htm
    Para seguir aprendiendo a resolver ecuaciones tendrán que leer el documento 2, que  explica cómo se resuelven las mismas.
    Las actividades deberán ser realizadas en los cuadernos. Harán una síntesis de los conceptos claves (definiciones) en el Word y un ejemplo de cada uno de ellos armados por ustedes. Estos conceptos serían:
            Identidad
            Ecuación
            Términos semejantes
            Comprobación
            Solución de la ecuación
    Lo realizado en el Word lo guardarán en un archivo para imprimirlo posteriormente.





    Documento 2:

    ¿Cómo resolver ecuaciones?



    En la última actividad que realizaron (balanza) observaron que para mantener el equilibrio fue necesario ir realizando las mismas operaciones en ambos platillos (miembros en una ecuación).
    De esta forma nos damos cuenta que obtenemos la solución de una ecuación pasando de situaciones de equilibrio a otras. Por ejemplo;

                 2x+5=17   luego
                               2x+5-5=17-5,  entonces 
                       2x=12, finalmente 
    x=6 
    Entonces decimos que 2x+5=17 y 2x=12 tienen la misma solución ( x=6 ).
    De dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son ecuaciones equivalentes.
    Entonces para resolver ecuaciones podemos obtener ecuaciones equivalentes, sumando o restando el mismo número en ambos miembros o bien, multiplicando o dividiendo por el mismo número como acabamos de ver en los gráficos de balanzas, que no es otra cosa que aplicar la ley uniforme.
    1.                 Si a los dos miembros de una ecuación, se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación que resulta es equivalente a la dada.
    2.                 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada.


    Vemos, pues, que una buena técnica para resolver una ecuación de 1er grado sería obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas hasta obtener una en la cual la incógnita estuviese despejada.

    Tomemos otro ejemplo de ecuaciones en el cual se plantean algunas variantes respecto a la anterior, como por ejemplo:


                                 4x-10+2x=5x-3x+6

    Para resolver este tipo de ecuaciones antes de aplicar la ley uniforme es necesario realizar una reducción de términos semejantes de ambos miembros.

    Reducción de términos semejantes

    Reducir términos semejantes significa unir según una operación dada, dos términos que cumplen con cierta característica. A continuación veremos unos ejemplos que pueden parecer un poco infantiles, pero resultan muy útiles.

    Ejemplo 1: Imaginemos que sólo vemos sombras a nuestro alrededor y no podemos distinguir bien los objetos que nos rodean, sólo sabemos que hay dos a mi izquierda y hay tres a  mi derecha, esta situación la puedo plantear así:

    2 x + 3 x = 5 x

    Donde la letra x representa al elemento desconocido que está a mi alrededor.

     Ejemplo 2: Ahora imaginemos que estoy viendo cinco autos amarillos y cinco autos azules, es decir que veo a mi alrededor 10 autos.
      

    En estos casos es posible unir los términos en uno sólo, es decir 5x + 5x, lo puedo expresar en un solo término, 10x y resulta la expresión  5x+5x=10x

    Ahora veamos el siguiente ejemplo en el cual se ve una situación diferente.

    Ejemplo 3: Tengo tres peras  y tengo 4 manzanas , puedo decir que tengo 7 manzanas o 7 peras?
                                              

       La respuesta es no!!.., las peras son peras y las manzanas son manzanas, no las podemos representar como un solo término.

    Como conclusión podemos decir que “objetos iguales” los podemos juntar. Como el ejemplo de los autos, en el álgebra ocurre lo mismo como el primer ejemplo de las letras x, si tenemos dos o más términos iguales o semejantes, entonces los podemos juntar, de lo contrario no.

    Ahora veamos esto con letras ¿Podemos simplificar la expresión 2x + 3x - x? La respuesta es sí porque son términos semejantes, podemos juntar todas las x y obtenemos como resultado 4x.

     Resolvamos ahora la ecuación planteada al comienzo reduciendo previamente a términos semejantes:

    4x - 10 + 2x = 5x - 3x + 6
    6x - 10 = 2x + 6
    6x-10+10 = 2x+6+10
    6x = 2x +16
    6x-2x = 2x-2x+16
    4x = 16
    4x/4 = 16/4
    x =  4

    Te proponemos ahora que realices ejercicios de aplicación


    Forma de trabajo grupal: 4 integrantes
    Duración: 3 clases de 40 minutos c/u
    Espacio: aula
    Las actividades propuestas, te pedimos que las realices en tu carpeta en forma prolija y ordenada para su posterior presentación  y corrección 

    1.  Calculen x.

    a )                  2x – 8 = 18

    b  )                 3x+2=5x+8

    c   )                5x-15=4x+16

    2.     Cuadrado mágico algebraico

    2x+2
    x
    x+1
    x-2
    x+2
    5x-6
    3x-3
    2x+1
    x-1

    Encuentren el valor de x y comprueba que las sumas de las filas, columnas y diagonales dan el mismo resultado..
    8
    3
    4
    1
    5
    9
    6
    7
    2
    3. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen la solución obtenida:


    a)   6x+30 = -12
    b)   x-4-3x = -10+6
    c)   3x+2x = 8x-15
    d)   5x-15 = 4x+16
    e)   -3x+9 = -3+2x-8
    f)   -x-3-5x =  -27
    g)   2x-6 = 3x-36+x
    h)  7x-12-12x = -x+12
    i)   -14+3x = 4x+21+4x
    j)   -8x-10+2x = 5x-3x+6
    k)   6(x+5)-5x = 25
    l)    5(x-3 )= 4(x+4)
    m)  3(3-x)+9=2(x-4)+6
    n)   -3 (x-1)+4 = 6(x-1)-5
    o)  7x-4(2x-1)+7 = -2(1-2x)+3
    Respuestas:
    a. X= -7
    b. X=0
    c. X= -5
    d.  X=31
     e. X=4

    f. X=4
      1. X=15
      2. X=-6
      3. X=7
      4. X= -2

      1. X= -5
      2. X=31
      3. x=4
      4. X=2
      5. X=2






    • Estructuración del conocimiento o síntesis



    4. Teniendo en cuenta todo lo trabajado hasta el momento y retomando el apunte que elaboraron en el procesador de texto,  con los conceptos claves del tema, armemos un esquema conceptual (mapa conceptual) que nos permitirá integrar, relacionar y estructurar lo aprendido.




    DANDO UTILIDAD A LAS ECUACIONES…........
    *      Aplicación de las mismas a problemas

    Forma de trabajo grupal: 4 integrantes
    Duración: 1 semanas de 5 módulos.
    Espacio: aula


    5) Resolución de problemas.



    Veremos el uso de las ecuaciones en distintos problemas. A modo de ejemplo, te presentamos el siguiente:
    La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30cm?
    Primero realizamos un dibujo para interpretar la situación:

       a=x   y   b=2x

    Recordando que el perímetro de un rectángulo es la suma de las longitudes de los lados, esto lo traducimos algebraicamente:
    P = 2 ( x+2x)
    Reemplazando P  por 30cm obtenemos la siguiente ecuación:
    30 = 2.3x
    Resolviendo la ecuación,
    30 = 6x

    30/6  = 6/6x
     x = 5 
    Obtenemos que la altura de rectángulo mide 5cm y la base 10cm.
    Comprobemos la ecuación:
    30= 2. ( 5+10)
    30= 2.15
    30=30


    Con lo cual la ecuación queda comprobada. Ahora bien, ¿la solución obtenida se ajusta al contexto del problema? ¿Podríamos en este problema obtener una solución negativa?…
    En particular, observamos que no tenemos solución negativa, en caso contrario estaríamos en un absurdo ya que se trata de calcular longitudes,
    Altura: 5cm
    Base: 10cm
    Además, vemos que al sumar los lados del rectángulo se obtiene 30cm.
    Perímetro: 2.5cm + 2.10cm = 10cm  + 20cm =  30cm


    Si cambiamos el problema ¿cuáles van a ser las respuestas?...

                                                                            
    La base de un rectángulo es el doble que su altura, aumentada en tres. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 42cm?
     

    Observaciones a tener en cuenta para la resolución:

          ·         Leer y comprender el enunciado.
    ·         Realizar un dibujo para interpretar el problema, en caso de ser posible.
    ·         Identificar cuál es la incógnita y observar que posibles valores puede tomar.
    ·         Hacer un plan (camino a seguir), relacionando los datos.
    ·         Plantear la ecuación y resolverla.
    ·         comprobar la solución ya sea desde la ecuación misma o en el contexto del problema.

    MAS  PROBLEMAS para resolver….
    1)            Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado?
    2)            En el triángulo ABC, los lados AB = 3AC  y  BC = 2AC. Si su perímetro es 168m. ¿Cuánto mide cada lado?
    3)            El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? (Sol: 9 y 20 m)
    4)            El ángulo desigual de un triángulo isósceles es la mitad de cada uno de los otros dos. Calculen el valor de los tres ángulos del triángulo.
    5)            Hallen el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.
    6)            Calculen los ángulos interiores  de un triángulo sabiendo que es el doble del otro y que el tercero es el cuádruplo de la suma de los dos primeros.
    7)            El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?
    8)            En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor?
    9)            Hallen dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.
    10)        Hallen dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
    11)        El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?
    12)        Al comprar 3 Kg. de berenjenas y 4 Kg. de chauchas, una dueña de casa pagó $ 119. ¿Cuánto vale el kilo de berenjenas, sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de chauchas?
    13)        La base y la altura de un triángulo equilátero miden 3x+2cm y 2x+1cmm, respectivamente. Si el perímetro es de 33cm, ¿cuál es la superficie de triángulo?
    Respuestas:
    1.       4 u
    2.       AC=28m
    3.       9cm y 20 cm
    4.       x=72º
    5.       ángulo a= 40º
    6.       12º,  24º y 144º
    7.       10 años (menor)

    8.       12, 24 y 108
    9.       51 y 52
    10.    48 y 50
    11.    96 y 98
    12.     9 y 23
    13.    38,5cm




    7.      Bibliografía:
    ·         You Tube. http://www.youtube.com/watch?v=foBuoZwa9Xs. Octubre, 26. 2010
    ·         E+educaplus.org, http://www.educaplus.org/play-13-Ecuaciones-visuales.html. Octubre, 26. 2010
    ·         E+educaplus.org, http://www.educaplus.org/play-14-Ecuaciones-visuales-II.html  Octubre, 26. 2010
    ·         aMOlasMates. http://www.amolasmates.es/flash/ecuaciones. Octubre, 26. 2010
    ·          http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recursos_2005/interactivos/balanza/balanza1.htm Octubre, 26. 2010
    ·         Martín Corujo, José Antonio. Cuestos y matemáticas.  INNOVA. DIRECCIÓN GENERAL DE ORDENACIÓN E UINOVACIÓN EDUCATIVA DE LA CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTES DEL GOBIERNO DE CANARIAS. Canarias, septiembre 2000. pp. 37-39.
    ·         Laurito, B. de Stisin, Trama, Ziger. Matemática 8. Buenos Aires. Puero de Palos. Enero de 2001.
    ·         Amster Pablo. Herramientas matemáticas para la resolución de problemas. Buenos Aires. pp. 1.
    ·         Fernández González, González González y Moreno Jiménez. La modelización con analogías en los textos de ciencias de secundaria, Revista Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias. Vol. 2, Nº 3 .2005. pp 430-439
    ·         Eduteca Fundación Gabriel Piedruita Uribe. Cómo aprende la gente. Capítulo I. El aprendizaje de la especulación a ciencia. http://www.eduteka.org/ComoAprendeLaGente.php3 . 28 de octubre 20010
    ·         Weber Verónica. Mediaciones en la enseñanza. Ambientes virtuales de aprendizaje. FLACSO Virtual. pp. 17.
    ·         WIDEWORLD. Valoración para la comprensión. Cuatro dimensiones de la compresión. Pp. 12-17

    http://www.educaplus.org/play-13-Ecuaciones-visuales.html
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